遅延評価セグメント木
(DataStructure/segtree_lazy.hpp)

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• Last update: 2023-12-31 10:41:43+09:00
• Include: #include "DataStructure/segtree_lazy.hpp"

概要

遅延評価セグメント木はモノイド $(S, \cdot: S \times S \to S, e \in S)$ と， $S$ から $S$ への写像の集合 $F$ であって，以下の条件を満たすようなものについて使用できるデータ構造である．

• $F$ は恒等写像 $\mathrm{id}$ を含む．つまり，任意の $x \in S$ に対し $\mathrm{id}(x) = x$ をみたす．
• $F$ は写像の合成について閉じている．つまり，任意の $f, g \in F$ に対し $f \circ g \in F$ である．
• 任意の $f \in F, x, y \in S$ に対し $f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$ をみたす．

長さ $N$ の $S$ の配列に対し、

• 区間の要素に一括で $F$ の要素(f)を作用 ( $x = f(x)$ )
• 区間の要素の総積の取得

を $\text{O}(\log N)$ で行うことが出来る．

また，このライブラリはオラクルとしてop, e, mapping, composition, idを使用するが、これらが定数時間で動くものと仮定したときの計算量を記述する．オラクル内部の計算量が $\text{O}(f(n))$ である場合はすべての計算量が $O(f(n))$ 倍となる．

テンプレート引数の例 (区間min演算・区間min更新)。適宜書き換えて使用する。

// lazy_segtree<S, op, e, F, mapping, composition, id> seg(200000);

using S = int;
using F = int;
// 単位元
S e(){return 1 << 30;}
// 区間演算
S op(S lhs, S rhs){ return min(lhs, rhs); }
// x に f を作用させた時の変化
S mapping(F f, S x){return min(x, f);}
// bf を作用させた後に af を作用させる
F composition(F af, F bf){return min(af, bf);}
// 恒等写像
F id(){return 1 << 30;}

関数名など	機能	計算量
(1) lazy_segtree<S, op, e, F, mapping, composition, id>(int N) (2) lazy_segtree<S, op, e, F, mapping, composition, id>(std::vector<T> v)	(1) 長さ $N$ の配列を作る。 (2) 長さ v.size() の配列を作る。v の内容が初期値になる。 ・モノイドの型S ・ $\cdot: S \times S \to S$ を計算する関数 S op(S a, S b) ・ $e$ を返す関数 S e() ・写像の型 F ・ $f(x)$ を返す関数 S mapping(F f, S x) ・ $f \circ g$ を返す関数 F composition(F f, F g) ・ $id$ を返す関数 F id() を定義する必要がある。	$\text{O}(N)$
void set(int p, S x)	a[p] に x を代入する． $0 \leq p < N$	$\text{O}(\log N)$
(1) S seg.get(int p) (2) S a[p]	a[p]を返す． $0 \leq p < N$	$\text{O}(\log N)$
S prod(int l, int r)	$\text{op}(a[l], \ldots, a[r - 1])$ をモノイドの性質を満たしていると仮定して計算する．l = r のときは e() を返す． $0 \leq l \leq r \leq N$	$\text{O}(\log N)$
S seg.all_prod()	$op(a[0], …, a[n - 1])$ を計算する．n = 0 のときは e() を返す．	$\text{O}(1)$
(1) void seg.apply(int p, F x) (2) void seg.apply(int l, int r, F x)	(1) a[p] = mapping(x, a[p]) を行う。 (2) $l \leq i < r$ について a[i] = mapping(x, a[i]) を行う。	$O(\log N)$
(1) int max_right<f>(int l) (2) int max_right<F>(int l, F f)	(1) 関数 bool f(S x) を定義する必要がある．segtreeの上で二分探索をする． (2) Sを引数にとりboolを返す関数オブジェクトを渡して使用する． 以下の条件を両方満たす r を(いずれか一つ)返す。 ・r = l もしくは f(op(a[l], a[l + 1], …, a[r - 1])) = true ・r = N もしくは f(op(a[l], a[l + 1], …, a[r])) = false 制約 ・fを同じ引数で呼んだ時、返り値は等しい(=副作用はない) ・f(e()) = true ・ $0 \leq l \leq N$	$\text{O}(\log N)$
(1) int min_left<f>(int r) (2) int min_left<F>(int r, F f)	(1) 関数 bool f(S x) を定義する必要がある．segtreeの上で二分探索をする． (2) Sを引数にとりboolを返す関数オブジェクトを渡して使用する． 以下の条件を両方満たす l を(いずれか一つ)返します。 ・l = r もしくは f(op(a[l], a[l + 1], …, a[r - 1])) = true ・l = 0 もしくは f(op(a[l - 1], a[l + 1], …, a[r - 1])) = false 制約 ・fを同じ引数で呼んだ時、返り値は等しい(=副作用はない) ・f(e()) = true ・ $0 \leq r \leq N$	$\text{O}(\log N)$

Verified with

• Test/yukicoder/yuki2697.test.cpp

Code

template <class S,
            S (*op)(S, S),
            S (*e)(),
            class F,
            S (*mapping)(F, S),
            F (*composition)(F, F),
            F (*id)()>
struct lazy_segtree {
    public:
    lazy_segtree() : lazy_segtree(0) {}
    lazy_segtree(int n) : lazy_segtree(std::vector<S>(n, e())) {}
    lazy_segtree(const std::vector<S>& v) : _n(int(v.size())) {
        log = ceil_pow2(_n);
        size = 1 << log;
        d = std::vector<S>(2 * size, e());
        lz = std::vector<F>(size, id());
        for (int i = 0; i < _n; i++) d[size + i] = v[i];
        for (int i = size - 1; i >= 1; i--) {
            update(i);
        }
    }
    void set(int p, S x) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        d[p] = x;
        for (int i = 1; i <= log; i++) update(p >> i);
    }
    S get(int p) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        return d[p];
    }
    const S operator[](int p) const { return get(p); }
    S operator[](int p) { return get(p); }
    S prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return e();
        l += size;
        r += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push(r >> i);
        }
        S sml = e(), smr = e();
        while (l < r) {
            if (l & 1) sml = op(sml, d[l++]);
            if (r & 1) smr = op(d[--r], smr);
            l >>= 1;
            r >>= 1;
        }
        return op(sml, smr);
    }
    S all_prod() { return d[1]; }
    void apply(int p, F f) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        d[p] = mapping(f, d[p]);
        for (int i = 1; i <= log; i++) update(p >> i);
    }
    void apply(int l, int r, F f) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return;
        l += size;
        r += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push((r - 1) >> i);
        }
        {
            int l2 = l, r2 = r;
            while (l < r) {
                if (l & 1) all_apply(l++, f);
                if (r & 1) all_apply(--r, f);
                l >>= 1;
                r >>= 1;
            }
            l = l2;
            r = r2;
        }
        for (int i = 1; i <= log; i++) {
            if (((l >> i) << i) != l) update(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) update((r - 1) >> i);
        }
    }
    template <bool (*g)(S)> int max_right(int l) {
        return max_right(l, [](S x) { return g(x); });
    }
    template <class G> int max_right(int l, G g) {
        assert(0 <= l && l <= _n);
        assert(g(e()));
        if (l == _n) return _n;
        l += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(l >> i);
        S sm = e();
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!g(op(sm, d[l]))) {
                while (l < size) {
                    push(l);
                    l = (2 * l);
                    if (g(op(sm, d[l]))) {
                        sm = op(sm, d[l]);
                        l++;
                    }
                }
                return l - size;
            }
            sm = op(sm, d[l]);
            l++;
        } while ((l & -l) != l);
        return _n;
    }
    template <bool (*g)(S)> int min_left(int r) {
        return min_left(r, [](S x) { return g(x); });
    }
    template <class G> int min_left(int r, G g) {
        assert(0 <= r && r <= _n);
        assert(g(e()));
        if (r == 0) return 0;
        r += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push((r - 1) >> i);
        S sm = e();
        do {
            r--;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!g(op(d[r], sm))) {
                while (r < size) {
                    push(r);
                    r = (2 * r + 1);
                    if (g(op(d[r], sm))) {
                        sm = op(d[r], sm);
                        r--;
                    }
                }
                return r + 1 - size;
            }
            sm = op(d[r], sm);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    private:
    int _n, size, log;
    std::vector<S> d;
    std::vector<F> lz;
    void update(int k) { d[k] = op(d[2 * k], d[2 * k + 1]); }
    void all_apply(int k, F f) {
        d[k] = mapping(f, d[k]);
        if (k < size) lz[k] = composition(f, lz[k]);
    }
    void push(int k) {
        all_apply(2 * k, lz[k]);
        all_apply(2 * k + 1, lz[k]);
        lz[k] = id();
    }
    int ceil_pow2(int n) {
        int x = 0;
        while ((1U << x) < (unsigned int)(n)) x++;
        return x;
    }
};

#line 1 "DataStructure/segtree_lazy.hpp"
template <class S,
            S (*op)(S, S),
            S (*e)(),
            class F,
            S (*mapping)(F, S),
            F (*composition)(F, F),
            F (*id)()>
struct lazy_segtree {
    public:
    lazy_segtree() : lazy_segtree(0) {}
    lazy_segtree(int n) : lazy_segtree(std::vector<S>(n, e())) {}
    lazy_segtree(const std::vector<S>& v) : _n(int(v.size())) {
        log = ceil_pow2(_n);
        size = 1 << log;
        d = std::vector<S>(2 * size, e());
        lz = std::vector<F>(size, id());
        for (int i = 0; i < _n; i++) d[size + i] = v[i];
        for (int i = size - 1; i >= 1; i--) {
            update(i);
        }
    }
    void set(int p, S x) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        d[p] = x;
        for (int i = 1; i <= log; i++) update(p >> i);
    }
    S get(int p) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        return d[p];
    }
    const S operator[](int p) const { return get(p); }
    S operator[](int p) { return get(p); }
    S prod(int l, int r) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return e();
        l += size;
        r += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push(r >> i);
        }
        S sml = e(), smr = e();
        while (l < r) {
            if (l & 1) sml = op(sml, d[l++]);
            if (r & 1) smr = op(d[--r], smr);
            l >>= 1;
            r >>= 1;
        }
        return op(sml, smr);
    }
    S all_prod() { return d[1]; }
    void apply(int p, F f) {
        assert(0 <= p && p < _n);
        p += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(p >> i);
        d[p] = mapping(f, d[p]);
        for (int i = 1; i <= log; i++) update(p >> i);
    }
    void apply(int l, int r, F f) {
        assert(0 <= l && l <= r && r <= _n);
        if (l == r) return;
        l += size;
        r += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) {
            if (((l >> i) << i) != l) push(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) push((r - 1) >> i);
        }
        {
            int l2 = l, r2 = r;
            while (l < r) {
                if (l & 1) all_apply(l++, f);
                if (r & 1) all_apply(--r, f);
                l >>= 1;
                r >>= 1;
            }
            l = l2;
            r = r2;
        }
        for (int i = 1; i <= log; i++) {
            if (((l >> i) << i) != l) update(l >> i);
            if (((r >> i) << i) != r) update((r - 1) >> i);
        }
    }
    template <bool (*g)(S)> int max_right(int l) {
        return max_right(l, [](S x) { return g(x); });
    }
    template <class G> int max_right(int l, G g) {
        assert(0 <= l && l <= _n);
        assert(g(e()));
        if (l == _n) return _n;
        l += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push(l >> i);
        S sm = e();
        do {
            while (l % 2 == 0) l >>= 1;
            if (!g(op(sm, d[l]))) {
                while (l < size) {
                    push(l);
                    l = (2 * l);
                    if (g(op(sm, d[l]))) {
                        sm = op(sm, d[l]);
                        l++;
                    }
                }
                return l - size;
            }
            sm = op(sm, d[l]);
            l++;
        } while ((l & -l) != l);
        return _n;
    }
    template <bool (*g)(S)> int min_left(int r) {
        return min_left(r, [](S x) { return g(x); });
    }
    template <class G> int min_left(int r, G g) {
        assert(0 <= r && r <= _n);
        assert(g(e()));
        if (r == 0) return 0;
        r += size;
        for (int i = log; i >= 1; i--) push((r - 1) >> i);
        S sm = e();
        do {
            r--;
            while (r > 1 && (r % 2)) r >>= 1;
            if (!g(op(d[r], sm))) {
                while (r < size) {
                    push(r);
                    r = (2 * r + 1);
                    if (g(op(d[r], sm))) {
                        sm = op(d[r], sm);
                        r--;
                    }
                }
                return r + 1 - size;
            }
            sm = op(d[r], sm);
        } while ((r & -r) != r);
        return 0;
    }
    private:
    int _n, size, log;
    std::vector<S> d;
    std::vector<F> lz;
    void update(int k) { d[k] = op(d[2 * k], d[2 * k + 1]); }
    void all_apply(int k, F f) {
        d[k] = mapping(f, d[k]);
        if (k < size) lz[k] = composition(f, lz[k]);
    }
    void push(int k) {
        all_apply(2 * k, lz[k]);
        all_apply(2 * k + 1, lz[k]);
        lz[k] = id();
    }
    int ceil_pow2(int n) {
        int x = 0;
        while ((1U << x) < (unsigned int)(n)) x++;
        return x;
    }
};

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